Polinomios¶

Un polinomio de grado \(n\) es una función matemática de la forma:

\[p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots + a_n x^n,\]

donde \(x\) es el parámetro y \(a_0, a_1, \dots, a_n\) son números reales dados.

Algunos ejemplos de polinomios son:

\(p(x) = 1 + 2x + x^2\),
\(q(x) = 4 - 17x\),
\(r(x) = -1 - 5x^3 + 3x^5\),
\(s(x) = 5x^{40} + 2x^{80}\).

Los grados de estos polinomios son, respectivamente, 2, 1, 5 y 80.

Evaluar un polinomio significa reemplazar \(x\) por un valor y obtener el resultado. Por ejemplo, si evaluamos el polinomio \(p\) en el valor \(x = 3\), obtenemos el resultado:

\[p(3) = 1 + 2\cdot 3 + 3^2 = 16\]

Un polinomio puede ser representado como una lista con los valores \(a_0, a_1, \dots, a_n\). Por ejemplo, los polinomios anteriores pueden ser representados así en un programa:

>>> p = [1, 2, 1]
>>> q = [4, -17]
>>> r = [-1, 0, 0, -5, 0, 3]
>>> s = [0] * 40 + [5] + [0] * 39 + [2]

Escriba la función grado(p) que entregue el grado de un polinomio:
```
>>> grado(r)
5
>>> grado(s)
80
```

Escriba la función evaluar(p, x) que evalúe el polinomio p (representado como una lista) en el valor x:

>>> evaluar(p, 3)
16
>>> evaluar(q, 0.0)
4.0
>>> evaluar(r, 1.1)
-2.82347
>>> evaluar([4, 3, 1], 3.14)
23.2796

Escriba la función sumar_polinomios(p1, p2) que entregue la suma de dos polinomios:
```
>>> sumar_polinomios(p, r)
[0, 2, 1, -5, 0, 3]
```
Escriba la función derivar_polinomio(p) que entregue la derivada de un polinomio:
```
>>> derivar_polinomio(r)
[0, 0, -15, 0, 15]
```
Escriba la función multiplicar_polinomios(p1, p2) que entregue el producto de dos polinomios:
```
>>> multiplicar_polinomios(p, q)
[4, -9, -30, -17]
```